Επιλογή Σελίδας

ΔΣ6. Κεφάλαιο 10. Αναζήτηση ριζών εξίσωσης, μέθοδος της διχοτόμησης (παράγραφος 4.3)

Δίνεται η εξίσωση e^x – 2x – 1 = 0. Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο να βρίσκει μια ρίζα της εξίσωσης αυτής στο διάστημα [1,2] με τη μέθοδο της διχοτόμησης, όπως περιγράφηκε στην παράγραφο 4.3 του βιβλίου σου.

…» Ο τρόπος που λειτουργεί η δυαδική αναζήτηση είναι ανάλογος με αυτόν της μεθόδου της διχοτόμησης. Η μέθοδος της διχοτόμησης (ή του Bolzano) χρησιμοποιείται για την εύρεση μιας ρίζας της εξίσωσης f(x)=0 στο διάστημα [a, b]. Ως γνωστό, στο διάστημα αυτό υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα, αν ισχύει f(a).f(b)<0 (για την ακρίβεια μπορεί να υπάρχει περιττός αριθμός ριζών). Με τη μέθοδο της διχοτόμησης βρίσκεται ένα σημείο x1 ( = (a+b)/2) στο μέσο του διαστήματος [a, b] και εξετάζεται, αv f(a).f(x1)<0. Αν ναι, τότε η ρίζα υπάρχει στο διάστημα [a, x1], αλλιώς στο [x1, b]. Στη συνέχεια βρίσκεται το μέσο x2 του υποδιαστήματος που υπάρχει η ρίζα και επαναλαμβάνονται τα ίδια. Έτσι σε κάθε επανάληψη εξαιρείται από την έρευνα το μισό διάστημα και προφανώς η ακολουθία τιμών x1, x2,… συγκλίνει προς τη ρίζα της εξίσωσης. Η διαδικασία τερματίζεται, όταν η προσέγγιση της ρίζας θεωρείται ικανοποιητική.»

ΛΥΣΗ (περισσότερα…)

Παράδειγμα 3.6, Σειριακή (sequential) ή Γραμμική (linear) Αναζήτηση

Η πιο απλή μορφή αναζήτησης στοιχείου σε πίνακα είναι η σειριακή (sequential) ή γραμμική (linear) μέθοδος. Έτσι για τον επόμενο αλγόριθμο Sequential Search υποτίθεται ότι αναζητείται η τιμή key στο μη ταξινομημένο πίνακα table. Μετά την εκτέλεση του αλγορίθμου η μεταβλητή position επιστρέφει την τιμή 0, αν η αναζήτηση είναι ανεπιτυχής, ενώ αν η αναζήτηση είναι επιτυχής, τότε επιστρέφει τη θέση του στοιχείου στον πίνακα (δηλαδή, έναν αριθμό από 1 ως n).

ΛΥΣΗ: (περισσότερα…)

Παράδειγμα 5, Τετράδιο Εργασιών, Αραιοί πίνακες

Ένας πίνακας λέγεται αραιός (sparse) αν ένα μεγάλο ποσοστό των στοιχείων του έχουν μηδενική τιμή. Δεν υπάρχει ακριβές ποσοστό σε σχέση με τον αριθμό των μηδενικών στοιχείων, επάνω από το οποίο ένας πίνακας χαρακτηρίζεται ως αραιός. Αρκεί όμως, για παράδειγμα, να πούμε ότι με περισσότερο από 80% μηδενικά ένας πίνακας χαρακτηρίζεται ως αραιός. Αραιοί πίνακες συναντώνται συχνά σε μεγάλα επιστημονικά προβλήματα (επίλυση εξισώσεων κ.λπ.). Το πρόβλημα με τη διαχείριση των αραιών πινάκων είναι ότι δαπανάται πολύ χώρος για την αποθήκευση μηδενικών. Άρα πρέπει να βρεθεί ένας οικονομικός τρόπος αποθήκευσης των αραιών πινάκων. Στην πράξη έχουν προταθεί αρκετοί τρόποι. Ένας από αυτούς τους τρόπους περιγράφεται στη συνέχεια. Έστω, λοιπόν, ότι δίνεται ο επόμενος πίνακας, που θέλουμε να τον διαχειρισθούμε ως αραιό.
par5kef3temath
Αντί να αποθηκεύσουμε αυτόν το δισδιάστατο πίνακα 4×5, θα θεωρήσουμε ένα μονοδιάστατο πίνακα όπου θα τοποθετήσουμε μόνο τα μη μηδενικά στοιχεία, για τα οποία όμως χρειαζόμαστε τα στοιχεία των αντίστοιχων γραμμών και στηλών. Έτσι καταλήγουμε κάθε μη μηδενικό στοιχείο να αντιπροσωπεύεται από μία τριάδα στοιχείων, δηλαδή <γραμμή,στήλη,τιμή>. Για το λόγο αυτό δημιουργούμε ένα μονοδιάστατο πίνακα 18 θέσεων για τα 6 μη μηδενικά στοιχεία του αρχικού πίνακα. Ο νέος πίνακας έχει τη μορφή:
par5kef3temath2
Πλέον, το πρόβλημα έγκειται στην αναγνώριση της τιμής μίας θέσης του παλαιού πίνακα, δεδομένου ότι ο πίνακας είναι αποθηκευμένος με τη νέα του μορφή. Ο επόμενος αλγόριθμος “Αραιός” επιστρέφει την τιμή του στοιχείου που βρίσκεται στη θέση <γραμμή Ι, στήλη m> του αρχικού πίνακα επεξεργαζόμενος τη νέα μορφή του πίνακα που αποτελείται από 3n θέσεις, όπου n ο αριθμός των μη μηδενικών στοιχείων.

ΛΥΣΗ: (περισσότερα…)

Ερώτημα 5, Θέμα Α, 2011, Επαναληπτικές, Ημερήσια

Δίνεται ο παρακάτω ημιτελής αλγόριθμος αναζήτησης ενός αριθμού key σε έναν αριθμητικό πίνακα table N στοιχείων, στον οποίο ο key μπορεί να εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές.
Αλγόριθμος Αναζήτηση
Δεδομένα // table, N, key //
Βρέθηκε <- Ψευδής
ΔενΒρέθηκε <- ……………………….
i <- 1
Όσο ΔενΒρέθηκε = Αληθής και i<=N επανάλαβε
Αν…………………….. τότε
Εμφάνισε “Βρέθηκε στη θέση”, i
Βρέθηκε <-   ……………………..
Αλλιώς_αν ………………………  τότε
ΔενΒρέθηκε <- ……………………….
Τέλος_αν
i <- i + 1
Τέλος_επανάληψης
Αποτελέσματα // Βρέθηκε //
Τέλος Αναζήτηση
Να ξαναγράψετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω αλγόριθμο με τα κενά συμπληρωμένα, έτσι ώστε να εμφανίζονται όλες οι θέσεις στις οποίες βρίσκεται ο αριθμός key στον πίνακα table. Ο αλγόριθμος να σταματάει αμέσως μόλις διαπιστωθεί ότι ο αριθμός key δεν υπάρχει στον πίνακα. Εκμεταλλευτείτε το γεγονός ότι τα στοιχεία του πίνακα είναι ταξινομημένα σε αύξουσα σειρά.
Μονάδες 10

Τα θέματα σε pdf, 2011, Επαναληπτικές, Ημερήσια

Θέμα Γ, 2010, Μαΐου-Ιουνίου, Ημερήσια

Σε κάποιο σχολικό αγώνα, για το άθλημα «Άλμα εις μήκος» καταγράφεται για κάθε αθλητή η καλύτερη έγκυρη επίδοσή του. Τιμής ένεκεν, πρώτος αγωνίζεται ο περσινός πρωταθλητής. Η Επιτροπή του αγώνα διαχειρίζεται τα στοιχεία των αθλητών που αγωνίστηκαν. Να γράψετε αλγόριθμο ο οποίος:

Γ1. Να ζητάει το ρεκόρ αγώνων και να το δέχεται, εφόσον είναι θετικό και μικρότερο των 10 μέτρων.

Μονάδες 2

Γ2. Να ζητάει τον συνολικό αριθμό των αγωνιζομένων και για κάθε αθλητή το όνομα και την επίδοσή του σε μέτρα με τη σειρά που αγωνίστηκε.

Μονάδες 4

Γ3. Να εμφανίζει το όνομα του αθλητή με τη χειρότερη επίδοση.

Μονάδες 4

Γ4. Να εμφανίζει τα ονόματα των αθλητών που κατέρριψαν το ρεκόρ αγώνων. Αν δεν υπάρχουν τέτοιοι αθλητές, να εμφανίζει το πλήθος των αθλητών που πλησίασαν το ρεκόρ αγώνων σε απόσταση όχι μεγαλύτερη των 50 εκατοστών.

Μονάδες 6

Γ5. Να βρίσκει και να εμφανίζει τη θέση που κατέλαβε στην τελική κατάταξη ο περσινός πρωταθλητής.

Μονάδες 4

Σημείωση: Να θεωρήσετε ότι κάθε αθλητής έχει έγκυρη επίδοση και ότι όλες οι επιδόσεις των αθλητών που καταγράφονται είναι διαφορετικές μεταξύ τους.

ΛΥΣΗ (περισσότερα…)

Θέμα Δ, 2010, Μαΐου-Ιουνίου, Ημερήσια

Το ράλλυ Βορείων Σποράδων είναι ένας αγώνας ιστοπλοΐας ανοικτής θάλασσας που γίνεται κάθε χρόνο. Στην τελευταία διοργάνωση συμμετείχαν 35 σκάφη που διαγωνίστηκαν σε διαδρομή συνολικής απόστασης 70 μιλίων. Κάθε σκάφος ανήκει σε μια από τις κατηγορίες C1, C2, C3. Επειδή στον αγώνα συμμετέχουν σκάφη διαφορετικών δυνατοτήτων, η κατάταξη δεν προκύπτει από τον «πραγματικό» χρόνο τερματισμού αλλά από ένα «σχετικό» χρόνο, που υπολογίζεται διαιρώντας τον «πραγματικό» χρόνο του σκάφους με τον «ιδανικό». Ο ιδανικός χρόνος είναι διαφορετικός για κάθε σκάφος και προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την απόσταση της διαδρομής με τον δείκτη GPH του σκάφους. Ο δείκτης GPH αντιπροσωπεύει τον ιδανικό χρόνο που χρειάζεται το σκάφος για να καλύψει απόσταση ενός μιλίου. Να κατασκευάσετε αλγόριθμο ο οποίος

Δ1.    Να ζητάει για κάθε σκάφος:

  • το όνομά του
  • την κατηγορία του ελέγχοντας την ορθή καταχώρηση
  • τον χρόνο (σε δευτερόλεπτα) που χρειάστηκε για να τερματίσει
  • τον δείκτη GPH (σε δευτερόλεπτα).

Μονάδες 4

Δ 2.  Να υπολογίζει τον σχετικό χρόνο κάθε σκάφους.

Μονάδες 5

Δ3. Να εμφανίζει την κατηγορία στην οποία ανήκουν τα περισσότερα σκάφη.

Μονάδες 6

Δ4. Να εμφανίζει για κάθε κατηγορία καθώς και για την γενική κατάταξη τα ονόματα των σκαφών που κερδίζουν μετάλλιο. (Μετάλλια απονέμονται στους 3 πρώτους κάθε κατηγορίας και στους 3 πρώτους της γενικής κατάταξης).

Μονάδες 5

Σημείωση: Να θεωρήσετε ότι κάθε κατηγορία έχει διαφορετικό αριθμό σκαφών και τουλάχιστον τρία σκάφη.

ΛΥΣΗ
(περισσότερα…)

Ερώτημα 4, Θέμα Α, 2007, Επαναληπτικές, Ημερήσια

Δίνεται η παρακάτω ακολουθία εντολών που στοχεύει στην υλοποίηση ενός αλγορίθμου αναζήτησης κάποιου στοιχείου Χ σε πίνακα Π με Ν στοιχεία:

Αλγόριθμος Αναζήτηση
Δεδομένα //Π,Ν,Χ//
flag <- ψευδής
Ι <- 1
Όσο   Ι ≤ Ν  και   flag=ψευδής  επανάλαβε
          Αν Π[Ι]=Χ  τότε
flag <- αληθής
         Τέλος_αν
Τέλος_επανάληψης
Αποτελέσματα //flag//
Τέλος Αναζήτηση

  1. Ποιο αλγοριθμικό κριτήριο δεν ικανοποιεί η παραπάνω ακολουθία εντολών; (Μονάδες 2)

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3)

Μονάδες 5

  1. Να διορθώσετε την παραπάνω ακολουθία εντολών έτσι ώστε να υλοποιεί σωστά την αναζήτηση.

Μονάδες 3

Τα θέματα σε pdf, 2007, Επαναληπτικές, Ημερήσια